Dreieck: Herleitung mit Vektoren - so bestimmen Sie den Schwerpunkt

So liegt der Schwerpunkt eines Dreiecks 

• Um den Schwerpunkt eines gegebenen Dreiecks einzuzeichnen, merken Sie sich zunächst, dass der Schwerpunkt eines jeden Dreiecks der Schnittpunkt von dessen drei Seitenhalbierenden ist. 
• Sie zeichnen in einem Dreieck also die Seitenhalbierenden ein. Dazu ziehen Sie je eine Gerade von einem Dreieckseckpunkt, die schließlich auf die Mitte der jeweils gegenüberliegenden Dreieckseite trifft. Haben Sie von allen drei Eckpunkten aus die Seitenhalbierende eingezeichnet, so treffen jene sich innerhalb des Dreiecks. Den Punkt, in dem diese sich treffen, können Sie als Eckpunkt markieren.
• Auch die Punkte, in denen die Geraden auf die Seitenlinien des Dreiecks treffen, sind von Ihnen zu markieren und zu benennen. Gegebenenfalls lassen sich diese durch die Buchstaben d, e und f bezeichnen.

Herleitung des Schwerpunktes über Vektoren

• Um die Herleitung eines Dreieckschwerpunkts über Vektoren zu bewerkstelligen, brauchen Sie zunächst  das Wissen, dass Vektor AB plus Vektor BF Vektor AF ergeben, wobei Vektor AF der einer der zuvor eingezeichneten Seitenhalbierenden ist. Da Ihnen F nicht bekannt ist, gilt es zunächst, AF durch Ihnen bekannte Größen zu ersetzen.
• Laut Formelsammlung schneiden die Seitenhalbierenden eines Dreiecks sich immer im Verhältnis 2:1. Diesen Gedanken führen Sie nun mit dem obigen zusammen. Dabei werden Sie feststellen, dass der Vektor der Seitenhalbierenden AF 2/3 des Schwerpunktvektors AS ausmacht. 


Dreieck halbieren - so wird's gemacht

Ein beliebiges Dreieck zu halbieren, da steckt doch bestimmt ein Trick dahinter. In diesem Fall …

• Daraus ergibt sich für Sie die Rechnung AB plus BF = 2/3 AS. Um diese Rechnung aufzulösen und den Vektor von Punkt A und Schwerpunkt zu erhalten, muss nun nur noch BF durch bekannte Größen ersetzt werden.
• Dazu gilt es zu erinnern, dass die Seitenhalbierende die jeweilige Seite genau in deren Mitte teilt. Somit ergibt sich das Verhältnis BF = 1/2 BC. Da B und C Ihnen bekannt sind, lässt sich BF nun durch 1/2BC ersetzen, damit die Berechnung des Schwerpunktes schließlich über bekannte Vektoren gelöst werden kann.
• Sie erhalten nun die Rechnung AB + 1/2BC = 2/3 AS. Setzen Sie die Vektorkoordinaten von AB und BC ein und rechnen Sie so für S die x-und y-Koordinaten aus, schon ist die vektorielle Herleitung des Dreieckschwerpunkts geschafft.