Lokale Änderungsrate - Erklärung und Bedeutung für eine Funktion

Erklärung des Begriffs der lokalen Änderungsrate

• Die Erklärung für diesen Begriff ist ganz einfach. Die lokale Änderungsrate ist ein mathematischer Ausdruck für die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt.
• Handelt es sich bei dem Graphen um die Abbildung einer zeitabhängigen Funktion, so wird die lokale Änderungsrate auch momentane Änderungsrate genannt.
• Die Steigung einer beliebigen Funktion in einem bestimmten Punkt entspricht außerdem der Steigung der dazugehörigen Tangente, die durch diesen Punkt verläuft.

So berechnen Sie die lokale Änderungsrate

Da es sich bei der lokalen Änderungsrate um die Steigung handelt, können Sie diese bei einer Geraden mit der allgemeinen Funktion y = m*x + b einfach ablesen. Der Wert m, der vor dem x steht, ist die Steigung. Handelt es sich bei der Funktion um eine komplexere Funktion, so gehen Sie wie folgt vor:

1. Leiten Sie die Funktion f(x) einfach ab. Verwenden Sie hierfür nach Bedarf die Produktregel, Quotientenregel, Summenregel und Kettenregel. Erklärungen zu den Regeln finden Sie in einer Formelsammlung oder im Internet.


Momentane Änderungsrate - Formel

Der Begriff "momentane Änderungsrate" kommt aus den Naturwissenschaften bzw. der Mathematik. Sie …

2. Wenn Sie die Ableitung f'(x) gebildet haben, setzten Sie den x-Wert Ihres Punktes in die Ableitung ein.
3. Den y-Wert der Ableitung entspricht der Steigung des Graphen in diesem Punkt oder eben der lokalen Änderungsrate.

Bedeutung für eine Funktion

• Oft wird in Textaufgaben nicht explizit erwähnt, dass die Steigung oder die lokale Änderungsrate gesucht wird.
• Meist ist dieser Wert die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt.
• Allgemein kann gesagt werden, dass diese Änderungsrate gesucht wird, wenn nach einem Wert mit der Einheit der y-Koordinate dividiert durch die Einheit der x-Koordinate.
• Beispiel 1: Auf der x-Achse wird die Zeit in Jahren angegeben. Die y-Achse trägt die Einheit Meter. Die lokale Änderungsrate ist hier die Wachstumsgeschwindigkeit mit der Einheit Meter pro Jahr (m/a).
• Beispiel 2: Die y-Achse gibt die Geschwindigkeit eines Autos in km/h an. Die x-Achse gibt hier die Zeit in Stunden wieder. Wenn Sie nun die Steigung in einem bestimmten Punkt mithilfe der Ableitung berechnen, so erhalten Sie die Beschleunigung des Fahrzeugs zu diesem Zeitpunkt.