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Nullstellen der Exponentialfunktion berechnen - so geht's

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Nullstelle oder nicht?
Nullstelle oder nicht?
Hat die Exponentialfunktion überhaupt Nullstellen? In ihrer einfachsten Form nicht, als Funktionenkombination allerdings schon.

Was Sie benötigen

  • Grundwissen Exponentialfunktionen

Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen

  • Die einfachste Exponentialfunktion hat die Form  f(x) = ex mit der Eulerschen Zahl e als Basis, bzw. f(x) = ax mit allgemeiner Basis a (größer Null).
  • Dabei handelt es sich um Funktionen, die mit größer werdendem x-Argument stets größere Funktionswerte annehmen - sogenannte Wachstumsfunktionen.
  • Eine Nullstelle liegt dann vor, wenn eine Funktion die x-Achse schneidet (oder berührt). An dieser Stelle gilt für den Funktionswert f(x) = y = 0 (Bedingung für Nullstellen). Wenn Sie jedoch den Graphen der Exponentialfunktion ansehen, so liegt dieser stets oberhalb der x-Achse. Die Funktion f(x) = ex hat also keine Nullstelle.
  • Rechnerisch müssten Sie aus der Bedingung ex = 0 einen passenden x-Wert finden. Bilden Sie hierfür auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus (als Gegenoperation zu "e hoch") und Sie erhalten ln (ex) = ln 0 und weiter x = ln 0. Bekanntermaßen können Sie den Logarithmus von Null nicht bilden, er ist nicht definiert.

Zusammengesetzte Exponentialfunktionen - ein Beispiel

In diesem Beispiel soll die zusammengesetzte Exponentialfunktion f(x) = (x²-1) * ex auf Nullstellen untersucht werden:

  1. Die Bedingung für Nullstellen lautet f(x) = 0. Sie setzen also (x²-1) * ex = 0.
  2. Der linke Teil dieser Gleichung ist ein Term, der aus zwei Faktoren besteht, die Sie einzeln auf Nullstellen untersuchen können (Erinnerung: a * b = 0, wenn entweder a = 0 oder b = 0).
  3. Sie setzen also x² - 1 = 0 und erhalten die beiden Nullstellen x1 = 1 und x2 = -1 als Lösung dieser quadratischen Gleichung.
  4. Der zweite Faktor ex = 0 hat (wie oben bereits erläutert) keine Lösung und liefert somit keine weitere Nullstelle.

Die Funktion f(x) = (x²-1) * ex hat somit die beiden Nullstellen N1 (1/0) sowie N2 (-1/0).

helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.
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