Ablesen der Werte für die Gleichung
Wenn es darum geht, die Parabelgleichung aus einem Graphen abzulesen, sollten Sie immer nach folgendem Schema vorgehen:
- Lesen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts aus dem Funktionsgraphen ab. Zum Beispiel S(-1/3). Zu Erinnerung: Fällen Sie das Lot vom Punkt, dessen Koordinaten Sie ablesen müssen, auf die x- und die y-Achse. So können Sie die Werte an den Achsen ablesen.
- Lesen Sie nun noch die Koordinaten eines zweiten Punkts P ab. Dieser ist im Beispiel P(0/2).
Es ist meist zweckmäßig, den Punkt bei x=0 abzulesen, weil das die Rechnung vereinfacht. Sie können aber auch die Koordinaten eines anderen Punkts ablesen, der nicht der Scheitelpunkt ist.
So bestimmen Sie die Parabelgleichung
- Verwenden Sie für die Parabelgleichung die Scheitelpunktform dieser Funktion, denn mit dieser geht es leichter. Die Scheitelform ist f(x) = a (x-xs)2 + ys. Wobei xs und ys die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
- Nun brauchen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts und setzen diese in die Gleichung ein. Angenommen, der Scheitelpunkt liegt bei S(-1/3), dann haben Sie die Parabelgleichung f(x) = a(x+1)2 + 3.
- Nun müssen Sie nur noch a bestimmen, indem Sie die Koordinaten des Punktes P einsetzen. f(x) = y = a(x+1)2 + 3, also gilt 2 = a(0+1)2 + 3 => 2 = a + 3 | -3 => 2-3 = a + 3 - 3 => - 1 = a . Die Parabelgleichung lautet in der Scheitelform also f(x) = - (x+1)2 + 3.
- Wenn die Normalform verfangt ist, müssen Sie die Gleichung nun nur noch ausrechnen: f(x) = - (x+1)2 + 3 = - (x2 + 2x + 12) + 3 = - x2 - 2x - 1 + 3. Demnach ist die Normalform also f(x) = - x2 -2x + 2.
Bei Parabeln handelt es sich um die graphische Darstellung quadratischer Funktionen. Der …
Bestimmung von Funktionen höherer Polynome
Sollte es mal um das Ablesen von Parabelgleichungen gehen, die eine höhere Ordnung haben, müssen Sie Folgendes beachten:
- Die Gleichungen haben immer den Aufbau f(a) = anxn + an-1xn-1+...+ a1x + a0. Lesen Sie immer den Schnittpunkt mit der y-Achse ab, denn da ist x=0 und Sie erhalten den Wert von a0.
- Wenn Sie den Scheitelpunkt ablesen können, bilden Sie die Ableitung: f'(a) = nanxn-1 + (n-a)an-1xn-2+...+ a1. Setzen Sie den x- und y-Wert des Scheitelpunkts ein und Sie können direkt a1 bestimmen.
- Ist auch der Wendepunkt zu bestimmen, dann bilden Sie die zweite Ableitung f''(a) = nanxn-1 + (n-a)an-1xn-2+...+ a2 und setzen die Koordinaten des Wendepunktes dort ein. Sie erhalten a2.
- Um die übrigen Koordinaten zu bestimmen, brauchen Sie meist weitere Punkte, die Sie ablesen. Angenommen Sie hatten eine Parabel 5. Grades, die bekanntlich die Parabelgleichung f(a) = a5x5 + a4x4+.a3x3+ + a2x2+ a1x + a0 hat. Durch die beschriebenen Schritte bekommen Sie leicht die Werte von a2, a1 und a0 heraus. Sie haben dann zum Beispiel: f(a) = a5x5 + a4x4+.a3x3 -x2+ 5x + 6. Sie sehen, es sind nur noch a5, a4 und a3 zu bestimmen. Sie müssen also nur vom 3 Punkten die Koordinaten einsetzen, um diese Werte zu bestimmen, dabei können Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts und des Wendepunktes mit verwenden. Es sind rechnerisch nur 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten zu lösen, was kein Problem sein dürfte.
So leicht können Sie Parabelgleichungen ablesen. Das Verfahren klappt auch bei Textaufgaben, in denen Sie aus markanten Punkten Funktionsgleichungen erstellen sollen.
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