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Integral von 1/x^3 - so integrieren Sie die Funktion

Inhaltsverzeichnis

Die Regel gilt für jede reelle Zahl.
Die Regel gilt für jede reelle Zahl.
Sie sollen das Integral von "1/x^3", also der Funktion f(x) = 1/x³ finden. Hierfür gibt es eine einfache Regel, die solche Problemfälle "erschlägt".

Was Sie benötigen

  • Integralregel für x^n

1/x^3 vereinfachen - so gehen Sie vor

  • Zugegeben, der Ausdruck "1/x^3" ist nicht leicht zu interpretieren, denn dahinter versteckt sich eine (dennoch einfache) gebrochen rationale Funktion.
  • Zunächst formen Sie um f(x) = 1/x^3 = 1/x³.
  • Nun wenden Sie ein Potenzgesetz an, nämlich 1/an = a-n und Sie erhalten: f(x) = x-3.

Integral für Funktionen mit der negativen Potenz

  • Genauso wie man Funktionen der Form f(x) = xm mit beliebigen Potenzen m (m kann hier nicht nur eine natürliche Zahl, sondern auch negativ, Bruch oder auch eine reelle Zahl sein) nach der bekannten Regel ableiten kann (bei f(x) = xm gilt f'(x) =m * xm-1; dabei kann m jede beliebige reelle Zahl sein), können Sie auch beim Integrieren die Ihnen bekannte Integralregel anwenden.
  • Es gilt nämlich ∫ xm = 1/(m+1) * xm+1, wobei m nicht notwendig eine natürliche Zahl sein muss, ausgenommen der Fall m = -1. Die Regel lässt sich durch Ableiten (der Umkehroperation zum Integrieren) leicht zeigen.
  • Wenden Sie die Regel an, so können Sie beliebige Funktionen mit beliebigen Exponenten (in Ihrem Fall also auch m = -3) integrieren.
  • Sie erhalten: ∫ x-3 = 1/(-3+1) * x-3+1 = = - 1/2 x-2 = -1/2 * 1/x² = - 1/(2x²), um noch einige andere Schreibweisen zu zeigen, sowie in der etwas umständlicheren Schreibweise -1/2 * 1/x^2.

Fazit: Gebrochen rationale Funktionen der Art 1/x^m lassen sich recht einfach integrieren, wenn man diese in eine Funktion mit negativer Potenz umwandelt und dann die bekannte Integralregel anwendet. Das Verfahren funktioniert jedoch nicht bei Funktionen der Form 1/(x² - 2x) oder auch 2x/(x+1), da es sich hier nicht um einfach gebrochene Funktionen handelt. Hier sind andere Verfahren nötig wie beispielsweise das Integrieren durch Substitution.

helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.
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